Tek Örneklem t-Testi

Vaka

Bir otomotiv parçaları fabrikasında görev yapan üretim mühendisi, aylardır üretim hattındaki ağırlık tutarsızlığı sorunuyla boğuşmaktadır. Fabrikanın ürettiği alüminyum bağlantı parçalarının nominal ağırlığı 485,0 gram olması gerekirken, hat kayıtları parçaların bu değerin sürekli üzerinde çıktığını göstermektedir. Fazla malzeme kullanımı hem maliyet hem de montaj uyumsuzluğu açısından ciddi bir sorun yaratmaktadır. Mühendisin kendisine sorduğu soru: “Uyguladığım proje gerçekten işe yaradı mı, yoksa gördüğüm değişim sadece rastlantısal bir dalgalanma mı?”

Proje sonrasında rastgele seçilen 25 üretim gününe ait parça ağırlıkları ölçülerek kayıt altına alınıyor. Bu 25 ölçüm, proje öncesinin bilinen ortalaması olan 485,0 gram ile istatistiksel olarak karşılaştırılacak. Mühendis, Tek Örneklem t-Testi yaparak ağırlığın 485,0 gram’dan farklı olup olmadığını görmek istiyor.

Hipotezler:

• H₀: μ = 485,0 g (Ortalama ağırlık değişmemiştir)
• H₁: μ ≠ 485,0 g (Ortalama ağırlık değişmiştir)

Neden çift yönlü (≠)? Mühendis ağırlığın düşmesini bekliyor; ama hedefin altına inmek de bir sorun (montajda boşluk, mukavemet kaybı). Her iki yöndeki sapmayı da yakalamak için çift yönlü test seçiyoruz. Sadece “azaldı mı?” sorusu sorulsaydı tek yönlü test (μ < 485) kullanılırdı.

Veriler

Verilerin bulunduğu dosyalar için: Agirlik.zip

Önce Varsayımlar

t-testi iki şey varsayar: ölçümler birbirinden bağımsızdır (rastgele seçilen günler bunu sağlar) ve veriler yaklaşık normal dağılır. 25 ölçümün normalliğini Normallik Testi aracı ile ya da Minitab’da Stat > Basic Statistics > Normality Test ile kontrol edebilirsin. Bu veri setinde Anderson-Darling / Shapiro-Wilk testleri normallikten anlamlı bir sapma göstermez (p ≈ 0,56), yani t-testine devam edebiliriz.

Veri Girişi ve Analiz

I. Minitab

1. Örneklem verilerinin bulunduğu dosyayı Minitab uygulamasında açın. (agirlik.mtw)
2. Minitab > Stat > Basic Statistics > 1-Sample t (Görsel-1)
3. Açılır listeden sırasıyla One or more samples, each in a column seçin ve Ağırlık verilerini seçin.
4. Perform hypothesis test seçili olsun
5. Hypothesized mean bölümüne 485 girin.
6. OK düğmesine tıklayın.
7. Options düğmesine tıklayın.
8. Confidence level: 95.0 (α=0.05), Alternative hypothesis: Mean ≠ hypothesized mean (Görsel-2)

Görsel-1

Görsel-2

II. LeaLog

1. LeaLog > Uygulamalar > Hipotez Testi sayfasını açın. (Veri Girişi sekmesi)
2. Test Türü: 1-Örneklem T-Testi (Görsel-3)
3. Popülasyon Ortalaması: 485
4. Anlamlılık Düzeyi: 0.05
5. Alternatif Hipotez Yönü: Eşit Değil (≠)
6. H₀ Tanımı: Ortalama ağırlık 485 gram’dır.
7. H₁ Tanımı: Ortalama ağırlık 485 gram’dan farklıdır.
8. Örneklem verilerini kopyalayarak (Ctrl+C) Veri Tablosu’na yapıştırın (Ctrl+V).
9. Analiz Et düğmesine tıklayın.
10. Analiz sekmesine tıklayın.

Görsel-3

Hesaplama

1. H₀: μ = 485,0 g
2. H₁: μ ≠ 485,0 g
3. α = 0,05 · n = 25
4. Serbestlik derecesi (df): n − 1 = 25 − 1 = 24
5. Örneklem ortalaması ve standart sapması: x̄ = 480,21 g · s = 2,179 g
6. Standart hata: SE = s / √n = 2,179 / 5 = 0,436 g
7. Test istatistiği: t = (x̄ − μ₀) / SE = (480,21 − 485) / 0,436 = −10,99 (Formül-1)
8. Kritik değer: t(24; 0,025) = ±2,064 (Tablo-1, çift yönlü olduğu için α ikiye bölünür)

Formül-1

Tablo-1

Sonuçlar ve Yorum

I. Formülle Hesaplama

• Hesaplanan t = −10,99
• Kabul bölgesi: −2,064 ile +2,064 arası
• −10,99 < −2,064

Görsel-4

Hesaplanan t değeri kabul bölgesinin dışında kaldığı için H₀ reddedilir. (Görsel-4)

II. Minitab

Sıfır hipotezi (H₀) ortalamanın 485 gram olduğunu belirtmekteydi.

P-value 0,000 olarak hesaplanmıştır (Görsel-5). Bu değer anlamlılık (α) değerinden küçüktür. Bu da Sıfır Hipotezinin reddedilmesini, yani ortalama ağırlık değerinin 485 gram’dan farklı olduğu sonucuna varır.

p-value (0,000) < α (0,05)

Görsel-5

Aynı şekilde Minitab üzerinde hesaplanan T-değerini de tablodaki kritik değeriyle karşılaştırıp kabul bölgesinde veya ret bölgesinde olduğunu görebilirsiniz. (Görsel-5)

T = −10,99 < −2,064

%95 güven aralığı (95% CI for μ): 479,31 – 481,11 g. Aralığın tamamı 485 g’ın altında kaldığı için ortalamanın 485 gramdan küçük olduğunu söyleyebiliriz. (Görsel-6)

Görsel-6

III. LeaLog

Analiz sekmesinde Interval Plot grafiğine bakarak popülasyonun ortalamadan düşük olma ihtimali görülebilir. (Görsel-7)

Sonuç ve Yorum kısmına bakarak ortalamanın hedeften farklı olduğu ve H₀ reddedildi yorumu görülebilir.

Almış olduğunuz hata riski de Tip-1 Hata olarak gösterilmektedir.

Görsel-7

Sahada Bu Ne Demek?

İstatistik “ortalama değişti” diyor. Peki mühendis projesine “başarılı” diyebilir mi?

• Değişimin yönü ve büyüklüğü: Ortalama 485,0 g’dan yaklaşık 480,2 g’a indi, yani parça başına ~4,8 g daha az malzeme. Yılda 1 milyon parça üreten bir hatta bu, ~4,8 ton alüminyum demektir.
• Ama hedefin altına inildi. Amaç fazla malzemeyi azaltmaktı; şimdi ortalama nominalin altında. Toleranslar 485 ± 5 g ise süreç alt sınıra çok yakın çalışıyor. Bir sonraki adım Süreç Yeterlilik aracı ile Cpk’yı hesaplamak ve gerekirse makine ayarını hedefe doğru kaydırmak olmalı.

Bu, hipotez testinin en önemli dersidir: test sana farkın gerçek olup olmadığını söyler; o farkın iyi mi kötü mü olduğuna sen karar verirsin.

Sık Yapılan Hatalar

• Ölçümleri aynı vardiyadan ya da arka arkaya almak. Bağımsızlık bozulur; günler ve vardiyalar rastgele seçilmelidir.
• Proje öncesi değeri yanlış almak. μ₀ (485 g) tahmini değil, bilinen ve güvenilir bir değer olmalıdır. Proje öncesine ait de bir örneklem varsa çift örneklem t-testi daha doğru bir seçimdir.
• Sadece p-değerini raporlamak. Yöneticiye “p = 0,000” yerine “ortalama 4,8 g azaldı (%95 GA: 3,9 – 5,7 g)” demek çok daha anlaşılırdır.

Bu Bölümün Özeti

Adım	Bu vakada
Soru	Proje sonrası ortalama ağırlık 485 g’dan farklı mı?
Test	Tek örneklem t-testi, çift yönlü, α = 0,05
Sonuç	t = −10,99, p < 0,001 → H₀ reddedildi
Pratik anlam	Ortalama ~4,8 g düştü; şimdi hedefin altında, yeterlilik kontrol edilmeli

Kendin dene: Agirlik.zip dosyasındaki veriyi Hipotez Testi aracına yapıştır ve aynı sonucu elde ettiğini doğrula.